Path instabilities of freely falling oblong cylinders
Trajectoires de cylindres oblongs en chute libre
Résumé
This paper presents numerical simulations of the free fall of homogenous cylinders of length-to-diameter ratios $2$ , $3$ and 5 and solid-to-fluid-density ratios $\rho _s/\rho$ going from 0 to 10 in transitional regimes. The path instabilities are shown to be due to two types of transitional states. The well-known fluttering state is a solid mode, characterised by significant oscillations of the cylinder axis due to a strong interaction between the vortex shedding in the wake and the solid degrees of freedom. Weakly oscillating, mostly irregular trajectories, are fluid modes, associated with purely fluid instabilities in the wake. The interplay of solid and fluid modes leads to a varying scenario in which the length-to-diameter and density ratios play an important role. The description is accompanied by the presentation of the identified transitional states in terms of path characteristics and vorticity structure of the wakes and by bifurcation diagrams showing the evolution of asymptotic states with increasing Galileo numbers. There appears to be a strong difference between the behaviour of cylinders of aspect ratio $L/d=3$ and 5. A similar contrast is stated between light cylinders of density ratios $\rho _s/\rho \le 2$ and dense cylinders of density ratios 5 and 10. Finally, the question of the scatter of values of the drag coefficient and of the frequency of oscillations raised in the literature is addressed. It is shown, that in addition to external parameters (Galileo number, density and aspect ratio) the amplitude of oscillations characterising the instability development is to be taken into account to explain this scatter. Fits of the simulation results to simple correlations are proposed. Namely that of the drag coefficient proves to be accurate (better than 1 % of accuracy) but also that of the Strouhal number (a few per cent of accuracy) may be of practical use.
Cet article présente des simulations numériques de la chute libre de cylindres homogènes de rapports longueur/diamètre 2, 3 et 5 et de rapports de masses volumiques solide/fluide ρs/ρ allant de 0 à 10 dans des régimes de transition. Les instabilités de trajectoire sont dues à deux types d'états de transition. L'état flottant bien connu est un mode solide, caractérisé par des oscillations importantes de l'axe du cylindre dues à une forte interaction entre le tourbillon se détachant dans le sillage et les degrés de liberté solides. Les modes fluides, faiblement oscillants et aux trajectoires le plus souvent irrégulières, sont associés à des instabilités purement fluides dans le sillage. L'interaction des modes solide et fluide conduit à un scénario variable dans lequel les rapports longueur/diamètre et de masses volumiques jouent un rôle important. La description est accompagnée de la présentation des états de transition identifiés en termes de caractéristiques de trajectoire et de structure de vorticité des sillages et de diagrammes de bifurcation montrant l'évolution des états asymptotiques avec des nombres de Galilée croissants. Il semble y avoir une forte différence de comportement entre les cylindres de rapport d'aspect L/d = 3 et 5. Un contraste similaire est constaté entre les cylindres légers de rapports de masses volumiques ρs/ρ ≤ 2 et les cylindres denses de rapports de masses volumiques 5 et 10. Enfin, la question de la dispersion des valeurs du coefficient de traînée et de la fréquence des oscillations soulevée dans la littérature est abordée. Il est montré qu'en plus des paramètres externes (nombre de Galilée, densité et rapport d'aspect) l'amplitude des oscillations caractérisant le développement de l'instabilité doit être prise en compte pour expliquer cette dispersion. Des ajustements des résultats de simulation à des corrélations simples sont proposés. En effet, celle du coefficient de traînée s'avère précise (meilleure que 1 % de précision) mais aussi celle du nombre de Strouhal (quelques pour cent de précision) peut être d'une utilité pratique.